相邻有限 对称无穷（试试这样贴是否可以）

    WTD 图是通过对逻辑真值表的一种特殊排列方式，能够将卡诺图所说的“相邻
项”变为更为清晰明了的“对称项”，可以称作对称真值表。它揭示了本来就存在
于真值表内最小项（亦称：标准布尔积）之间的对称关系。


校长：
    WTD 图是我校机械厂王业武最近一个重要的发现，完全可以取代
贝尔实验室卡诺工程师提出、并早已广泛应用于逻辑函数化简的卡诺
图，WTD 图其他方面的应用目前也在探索中。
    卡诺图中可以合并后消去变量的“相邻项” ，在 WTD 图中体现
为“对称项”。相邻项的合并不能明显看出消去的是哪一个变量，而
对称项的合并却可从对称轴的起点直观得到；卡诺图最不尽人意之处
在于仅仅适用于三个或四个变量的情况，五个变量已经是勉强可用，
六个变量则基本上失去了简单、直观的优点，对于更多的变量，卡诺
图就是个毫无意义的东西。因为，五、六个变量时平面图已成为立体
图，“矩形块”也在第三个座标方向成了“矩形体”，而“相邻”二
字在三维以上的空间中是绝对没有直观性的。可是 WTD图则不论变量
的多少，始终能够直观地显示对称关系，可以永远在平面上无限扩展。
卡诺图又被称为“相邻真值表”，WTD 图亦可称“对称真值表”。相
邻有限，对称无穷，WTD 图在逻辑函数化简方面大大优于卡诺图。
    更为令人惊异的是，WTD 图与《洛书》《河图》中的太极八卦图、
先天六十四卦圆图以及八干四维二十四向圆图都有着极多的相似之处。
我们知道，德国人莱布尼兹因为受到中国《易经》《伏羲六十四卦次
序方位图》的启发，成为二进制计算的一代先师，现在 WTD图把逻辑
真值表用类似太极八卦的形式排列，揭示了本来就存在于真值表内的
标准布尔积之间的对称关系。
    中国古代传统文化与现代科学技术的结合，理应由中国人按照自
己特有的思维方式来完成。为此提出如下建议：
    ⒈在组合逻辑电路设计教学中首先推广 WTD图的化简法；
    ⒉组织人力，对 WTD图的进一步应用进行研究。
    由于 WTD图只不过是真值表的一种排列方式，所以对内行人无需
繁琐的讲述就可了解，并迅速掌握使用。考虑发现者的权益，希望能
把这一发现最先向校长当面汇报，顶多占用半个小时。还望校长在百
忙中适当安排，对这一发现给予应有的重视。
    任何科技的新发现都应该属于全人类，因此，我们也正在为向国
外透露这一发现作准备。
          谨祝
春安！

                                    
                                        一九九三年四月十五日



                       相 邻 有 限   对 称 无 穷
                                     ――介绍可取代卡诺图的WTD图


                                 前  言


    WTD 图（图1） 是我校机械厂王业武老师最近的一个新发现。在
逻辑函数的化简方面，它不仅具有比卡诺图更加简单、直观的特点，而且可以在平
面内任意扩展，突破了卡诺图造成的局限性。多变量逻辑函数的化简在 WTD图上变
得十分容易掌握，完成得简捷而又迅速，能够完整地找出所有的最简形式，同时也
可以方便地检查、发现和排除竞争―冒险现象。由于 WTD图中的规律性极强，使用
的步骤简单，非常适合用来编制计算机程序，在程序算法上可优于Q―M法（亦称列
表法）。
    可以认为，在计算机技术高度发展的今天，WTD 图对 GAL以及各种数字集成电
路的设计和分析工作将起到极大的促进作用，可广泛用于教学、科研和生产。
    更为令人惊异的是， WTD 图与《洛书》《河图》中的太极八卦图（图2）、先
天六十四卦圆图（图6）以及八干四维二十四向圆图（图4）都有着极多的相似之处
（资料1） 。我们知道，德国人莱布尼兹因为受到中国《易经》《伏羲六十四卦次
序方位图》的启发，成为二进制计算的一代先师，现在 WTD图的发现，说明了中国
古代传统文化与现代科学技术的结合，理应由中国人按照自己特有的思维方式来完
成。

                    一、卡诺图中“相邻”关系的局限性

    由贝尔实验室卡诺工程师提出，并在逻辑函数化简方面广泛应用的卡诺图法，
把可以合并后消去一个变量的最小项（亦称“标准布尔积”，参见资料2、资料3）
定义为“相邻项”，这是一个从几何关系引申而来的逻辑关系。在卡诺图中，几何
的相邻关系以直观的方式体现了最小项的合并规律。然而众所周知，卡诺图适用的
范围是很窄的：四个变量及三个变量的情况下极具魅力，五个变量时比较麻烦，六
个变量就变得十分繁琐，而变量在六个以上时则完全不能使用。究其原因，毛病就
出在“相邻”二字：三、四个变量的卡诺图可以在二维的平面上画出，五、六个变
量时“相邻”关系必须在三个坐标轴方向同时考虑，而四维及四维以上的几何空间
是不能直接观察的，卡诺图“相邻”关系的直观性至此不再具有意义。
    既然卡诺图局限性如此之大，就完全有必要用更好的办法、更具普遍意义的直
观关系来取代它。
    WTD图（王氏太极多卦图） 把具有合并消元关系的最小项定义为“对称项”，
使得对称关系可以随变量的增加在平面上无限扩展，直观性便永远存在。WTD 图亦
可称“对称真值表”，它揭示了本来就存在于真值表内的最小项之间的对称关系。

                    二、使用WTD图进行逻辑函数的化简

    以化简一个六变量逻辑函数为例：
    f＝Σ (6,7,12,13,20,21,22,23,28,29,30,31,32,33,34,35,40,41,42,44,45,
46,48,49 50,51,52,53,54,55,56,60,61,62,63)
    本题取自资料2， 为了与变量“F”相区别，此处把资料2原题中的函数符号改
作小写的“f”。资料2中说：“六变量逻辑函数的真值表有64行，在书中列入过于
繁琐，具体步骤就不一一列入。”可见卡诺图法在六变量的情况已经繁琐到了“过
于”的程度。
    现在把这一函数中真值1的最小项填入WTD图中。可以直观看出：m12与m13对称，
m44与m45对称，对称轴分别是L1和L2，都是自F圆引出。这就是说， m12可与m13合
并，m44可与m45合并，都是消去变量F；m12、m13一对又与 m44、m45一对，以引自
A圆（直径＝0）的L3对称，可以消去变量A。于是，m12、m13、 m44、m45四项就能
合并，同时消去A、F二个变量；另一边，可以同时消去A、F二个变量的m28、m29，
m60、m61为一组，又与上一组以L4对称，于是八个最小项成为一个大的对称组，消
去变量 A、B、F。从圆心起由里到外顺序写出它们的相同因子，也就是得到了一个
简化项：CDE。上述八个最小项的标注可改为φ（图5），在以后的化简过程中当做
约束项（亦称“无关单元”，参见资料2、资料3）来处理。也就是说，合并过的项
仍可与未合并过的项进行合并化简。 当所有真值1的最小项都改成φ时，化简就全
部完成。











    继续在图中寻找对称关系，并以 2的非负整次幂构成尽可能大的对称组，可以
重复，但不能遗漏。按照对称项合并的规则得到其余简化项：m20、m21、m22、m23、
m28、m29、m30、m31 与 m52、m53、m54、m55、m60、m61、m62、m63 合并得到 BD；
m32、m33、m34、m35 与 m48、m49、m50、m51合并得到 ACD；m40、m41；m44、m45
合并得到 ABCE；m6、m7，m22、m23合并得到 ACDE；m40、m42，m44、m46合并得到
ABCF。到这一步，只剩 m56一项未处理了，若把 m56与m48、m52、m60 合并就可得
到 ABEF，这就是资料2中给出的答案。但 m56如果与 m40、m44、m60构成对称组，
就可合并成为 ACEF，而若与m32、m40、m48又能合并成ADEF。于是，我们得到了三
个逻辑效果相同的简化式：

    ｆ＝ＢＤ＋ＡＣＤ＋ＡＣＤＥ＋ＡＢＣＥ＋ＣＤＥ＋ＡＢＣＦ＋ＡＢＥＦ
    ｆ＝ＢＤ＋ＡＣＤ＋ＡＣＤＥ＋ＡＢＣＥ＋ＣＤＥ＋ＡＢＣＦ＋ＡＣＥＦ
    ｆ＝ＢＤ＋ＡＣＤ＋ＡＣＤＥ＋ＡＢＣＥ＋ＣＤＥ＋ＡＢＣＦ＋ＡＤＥＦ

比资料2中卡诺图的方法多出了二个， 而且从头到尾直观简单，并未感到繁琐。
    通过以上分析我们看到，WTD图与卡诺图比较，具有明显的优势：
    ①、可合并消元的最小项构成了直观的对称组，而对称轴又直接指出了消去的
变量，从而能够准确迅速地得到所有最简形式。
    ②、对于大于六个变量的函数，化简过程类似，只是限于篇幅在此不再举例，
读者可自己去做题。这一点是卡诺图做都做不到，比更没法比的。
    ③、WTD图化简过程中规律性极强，因此可以作为算法用计算机来完成。WTD图
的产生和规律将在下文中详细介绍。
    使用WTD图进行逻辑函数化简的步骤可总结如下：
    ⒈画出与欲化简的逻辑函数中变量数目相符的WTD图；
    ⒉将函数真值标注在WTD图圈外最小项的对应位置，0值可省略，约束项注φ。
由于 WTD图本身就是真值表，除了它外不需要任何其他形式的真值表。
    函数的给出如果不是本文例题形式，而是最小项和的形式，则应自最高位始，
从里到外确定填1的位置，与其他资料中填写标准形式真值表的方法没有区别。
    ⒊利用真值1的最小项之间以及它们与约束项之间的对称关系构成尽可能大的
对称组，由对称轴确定合并后可以消去的变量。可以重复，但不得遗漏，因此合并
过的项可与约束项同等对待 。每一对称组中的项数应为2的非负整次幂，这些最小
项的公共部分就是它们合并后的简化项。不能构成对称关系的最小项可称为“独立
最小项”，也可视作2的0次幂个项的对称组。
    ⒋所有对称组合并后的简化项之和就是该函数的最简式。最简式不一定是唯一
的。
    ⒌对于组合逻辑电路的设计，独立的对称组之间如果存在个别未利用的对称关
系，应进一步分析是否有发生竞争―冒险现象的可能。

                            三、WTD图的画法

    WTD图的画法要从它的产生讲起。
    图 6是先天六十四卦横图，如果把所有的“阴”看作0，把“阳”看作1，这个
图就是六变量全部最小项（或称标准布尔积）的顺序排列。图 7是先天六十四卦圆
图，但它并未按横图顺序排成一个整圆，而是最高位0的按逆时针，最高位1的按顺
时针，于是产生了极好的左右对称关系，先天八卦的横图与圆图之间也存在这样的
变化和形成了同样的对称关系。在这样的圆图上，可合并的最小项不仅在圆周顺序
上成对相邻，而且以一个直径为轴左右对称成双。
    如果把这种从横到圆的变化从最开始做，并按照同一个办法继续做下去，就可
以实现每一个层次的对称关系：
    图8A是一个原始的太极阴阳仪，但这里用0、1二值代替了黑、白两色。如果把
上半径逆时针旋转，整圆被压缩成半圆（图8B），再以直径为轴，做出半圆的镜象
（图8C），并且在当中再加入一个图8A的原始太极阴阳仪（图8D），就成为 WTD的
二变量图。按照图8中A～D的顺序在二变量WTD图基础上再做一遍，就会得到三变量
的WTD图（图1）。继续做下去，可得到任意变量的WTD图。回过头来看， 原始太极
阴阳仪实际就是单变量的WTD图。










    WTD图周围标注的下标十进制数，也就是标准真值表中最小项的顺序号， 但在
这里却不是从小到大按序排列，而是等于以圆心开始为高位、以边缘为低位的二进
制数。不过我们标注时却用不着一个一个去算，从上文所述的 WTD图形成过程中我
们看到：n个变量WTD图的右半边就是n-1个变量WTD图的全部标注，而左半边只是右
半边在最高位加了个1，左右对称位置之差恒等于2^(n-1)。

                         四、WTD图中体现的规律

    当然，我们也可仿照八卦和六十四卦的横图、圆图之对应，画出 WTD图的另一
种形式（图9）。在变量增加时这种形式占篇幅急剧膨胀，并不适用。 在此列出四
变量的图，为的是看到 WTD图的本质就是真值表，并更能明显看出顺序与最小项的
二进制值之间存在的规律。
    以一个 0与二进┏━┯━┯━┯━┳━━━━━┯━━━━━┯━━━━━┓
制顺序的最高位异或┃A │B │C │D ┃ 二进制值 │二进制顺序│十进制顺序┃
就得到二进制值的最┣━┿━┿━┿━╋━━━━━┿━━━━━┿━━━━━┫
高位，以二进制顺序┃  │  │  │0 ┃   0000   │   0000   │    0     ┃
的最高位与次高位异┃  │  │0 ├─╂─────┼─────┼─────┨
或，得到二进制值的┃  │  │  │1 ┃   0001   │   0001   │    1     ┃
次高位，这样继续作┃  │0 ├─┼─╂─────┼─────┼─────┨
下去，直到得出二进┃  │  │  │1 ┃   0011   │   0010   │    2     ┃
制值的 0位为止。用┃  │  │1 ├─╂─────┼─────┼─────┨
这种“两两异或”的┃  │  │  │0 ┃   0010   │   0011   │    3     ┃
办法我们能计算出任┃0 ├─┼─┼─╂─────┼─────┼─────┨
意个变量的函数中任┃  │  │  │0 ┃   0110   │   0100   │    4     ┃
何一个最小项的值。┃  │  │1 ├─╂─────┼─────┼─────┨
    以一个 0与二进┃  │  │  │1 ┃   0111   │   0101   │    5     ┃
制值的最高位异或，┃  │1 ├─┼─╂─────┼─────┼─────┨
就得到二进制顺序的┃  │  │  │1 ┃   0101   │   0110   │    6     ┃
最高位，使用这一结┃  │  │0 ├─╂─────┼─────┼─────┨
果再与二进制的次高┃  │  │  │0 ┃   0100   │   0111   │    7     ┃
位异或，得到二进制┠─┼─┼─┼─╂─────┼─────┼─────┨
顺序的次高位，这样┃  │  │  │0 ┃   1100   │   1000   │    8     ┃
继续作下去，直到得┃  │  │0 ├─╂─────┼─────┼─────┨
出二进制顺序的 0位┃  │  │  │1 ┃   1101   │   1001   │    9     ┃
为止。这种计算最小┃  │1 ├─┼─╂─────┼─────┼─────┨
项顺序的办法可称为┃  │  │  │1 ┃   1111   │   1010   │    10    ┃
“逐位异或”。    ┃  │  │1 ├─╂─────┼─────┼─────┨
    逐位异或显然是┃  │  │  │0 ┃   1110   │   1011   │    11    ┃
两两异或的逆运算。┃1 ├─┼─┼─╂─────┼─────┼─────┨
    每个二进制顺序┃  │  │  │0 ┃   1010   │   1100   │    12    ┃
数都能通过与一位-1┃  │  │1 ├─╂─────┼─────┼─────┨
(1),二位-1(11)，三┃  │  │  │1 ┃   1011   │   1101   │    13    ┃
位-1(111)…… 的异┃  │0 ├─┼─╂─────┼─────┼─────┨
或运算得出它所有对┃  │  │  │1 ┃   1001   │   1110   │    14    ┃
称项顺序数。十分明┃  │  │0 ├─╂─────┼─────┼─────┨
显，n 变量逻辑函数┃  │  │  │0 ┃   1000   │   1111   │    15    ┃
每一个最小项在 WTD┗━┷━┷━┷━┻━━━━━┷━━━━━┷━━━━━┛
图中的对称位置有 n                        图10
个。如果用卡诺图的定义，“相邻”也是要有 n个项，在几何直观性方面显然是行
不通的死胡同。
    通过图9我们还可以看出，上下两部分实际上就是A和A与两个 WTD图的逻辑积。
因此， 如果把可以消去A变量的所有关系都用遍了，余下部分的进一步化简就可将
一个大的WTD图变成两个小的WTD分别进行。实际上就是变成两个括号，并且与A和A
分别取逻辑积成为两项。对于一个太大的 WTD图这样做是很有意义的。可以说，这
里已经把简化和优化放在一起进行了。
    上述 WTD图的二进制规律使我们能够设想到，利用这些规律不仅能编制程序软
件完成逻辑函数的化简，甚至完全可以用硬件逻辑来达到同样的目的，其速度将比
软件快得多。
    通过 WTD图中我们还应注意到：表格线在此是必不可少的，它起到对称轴以及
指示变量的作用，这也正是对称真值表（WTD图）区别于其他表格的一个显著特点。

                              五、其他应用

    既然 WTD图和中国古代传统文化的太极八卦能联系起来，或许对其他学科的发
展也能起到推动和促进作用。因为，太极八卦这套学说是可以涉及到许多学科的。
不过，这已超出本文所要讨论的范围了。但是我们要强调一下：占卜之类的应用决
非正路！
    WTD图取代卡诺图，并进一步开发WTD图的其他应用，这是我们的热切期望。


参考资料：
⑴《河洛精蕴》        孙国中 点校  [清]江慎修 著  学苑出版社 1989年5月版
⑵《数字电路的逻辑设计》       冯昭逢 著  湖南科学技术出版社 1980年9月版
⑶《数字电子技术基础》（第三版）  阎石 主编   高等教育出版社 1989年3月版


图：①3变量WTD图、②太极八卦园图；③太极八卦横图；④八干四维二十四向圆图；
    ⑤6变量WTD图、⑥先天六十四卦圆图；⑦先天六十四卦横图；⑧WTD图的画法；
    ⑨WTD图的另一种形式


http://www.xinwei.org/upload/index.php?action=view&filename=WTD2.txt



http://www.xinwei.org/upload/index.php?action=view&filename=WTD2.txt

对此篇有兴趣的朋友注意：

①在文中没有把应有的函数变量上面的横线画出来；

②应该有的图形也都没有附上。


因为确有一定的困难。谢谢您的浏览！

如果有图就更好理解了，呵呵，看了一遍，似懂非懂；看了两遍，一知半解；别急，让俺在看一遍。。。